В июне 1941 года призван на военную службу и направлен в действующую армию. Воевал на Юго-Западном, Сталинградском и Воронежском фронтах.
    15 августа 1943 года командир миномётного расчета 491-го отдельного миномётного полка (38-я армия, Воронежский фронт) старший сержант Одегов со своим расчётом в бою за с. Великий Бобрик (Украина, Краснопольский район Сумской области) уничтожил артиллерийское орудие, 2 ручных пулемёта, до 50 вражеских офицеров и солдат, чем обеспечил наступление советской пехоты. 3 сентября недалеко от с. Низов (Сумской район) переправил расчёт с миномётом через р. Псёл и огнём прикрыл переброску своего дивизиона. 4 октября под с. Сваромьем (Киевская область, Вышгородский район) одним из первых перебрался на правый берег Днепра.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 9 февраля 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками старшему сержанту Л.Я. Одегову присвоено Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В 1944 году окончил Ульяновское артиллерийское училище. 

После Победы Л.Я. Одегов служил в Группе советских войск в Германии. 

В 1953 году гвардии лейтенант Одегов был уволен в отставку по инвалидности. 

В Кировской области работал заведующим Поцелуевским сельским клубом, позднее – на Даровском льнозаводе.
С 1972 года жил в Искитиме, работал в строительном управлении.  
Награждён орденом Ленина, медалью «Золотая Звезда» и другими.
Умер 29 июня 1974 года. Похоронен в Искитиме на Новом городском кладбище.  
Бюст Героя Советского Союза Л.Я. Одегова установлен перед зданием Искитимского городского историко-художественного музея. В 1980 г. в г. Искитиме, на доме номер 8 в Южном микрорайоне, в котором в 1972 – 1974 гг. жил Леонид Яковлевич, была установлена памятная доска, снятая в 90-е гг. прошлого века. 18 апреля 2015 г. по инициативе администрации и музейного совета средней школы № 11 г. Искитима памятная доска Л.Я. Одегова была восстановлена на прежнем месте. 

Его имя увековечено на Аллее новосибирцев-героев у Монумента Славы. 

В 2005 году администрация г. Искитима установила на могиле Л.Я. Одегова гранитный памятник с нанесёнными на него изображением Золотой Звезды Героя Советского Союза и надписью о награждении.