В 1936 – 1938 гг. проходил службу в Красной Армии.
Мобилизован в октябре 1941 года, в действующей армии – с декабря того же года. 10 мая 1944 года командир отделения связи 172-го гвардейского стрелкового полка (57-я гвардейская стрелковая дивизия, 4-й гвардейский стрелковый корпус, 8-я гвардейская армия, 3-й Украинский фронт), гвардии старший сержант А.А. Страхов в числе первых переправился через р. Днестр в 8 км юго-восточнее п. Григориополя в Молдавии, установил связь с подразделениями своего полка, чем способствовал удержанию плацдарма. 

13 мая того же года награждён орденом Боевой Славы 3-й степени.
14 января 1945 года командир взвода связи того же полка (1-й Белорусский фронт), гвардии старшина Страхов во время боя у н.п. Гловачува (Польша) сохранял устойчивую связь со штабом. 26 января переплыл р. Варту северо-западнее прусского города Позена (ныне – г. Познань в Польше) и под огнём противника устранил до 10 порывов на телефонной линии. 5 февраля того же года севернее г. Франкфурта-на-Одере в Германии со взводом оборонялся на левом берегу реки, поддерживая связь с командованием. 

26 марта 1945 года за боевые отличия зимой 1945-го в Польше  и Германии награждён орденом Боевой Славы 2-й степени.
17 апреля того же года у г. Зеелова в Германии наш земляк, ведя с группой красноармейцев бой против германских подразделений, действуя в тылу врага, восстановил связь со штабом полка. 

Во время сражения за Берлин дошёл до рейхстага и расписался на его стенах. 

31 мая 1945 -го А.А. Страхов за мужество, проявленное при штурме г. Зеелова, награждён орденом Боевой Славы 1-й степени.
После демобилизации в 1945 году вернулся на родину, работал бригадиром животноводов в колхозе, позднее в Евсинском совхозе. Также награждён орденом Октябрьской Революции, Красной Звезды, медалями «За отвагу» и «За боевые заслуги».     
Умер 4 января 1985 года. 

В память о А.А. Страхове названы улицы в д. Шадриной и на ст. Евсино. У здания Искитимского городского историко-художественного музея установлен бюст Антона Алексеевича. 

В Новосибирске его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы.